Задача
ALG-B2-M12-P015 Вариант 4. Три обратных квадрата
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac1{1+a^2}+\frac1{1+b^2}+\frac1{1+c^2}\ge\frac32.\]
Подсказка. Используйте \(\frac1{1+x^2}\ge\frac{2-x}{2}\).
Разность \(\frac1{1+x^2}-\frac{2-x}{2}\) равна \(\frac{x(x-1)^2}{2(1+x^2)}\ge0\). Суммируем для \(a,b,c\) и используем \(a+b+c=3\).
Mock-вариант 4: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.