Задача
ALG-B2-M12-P016 Вариант 4. Телескопический корень
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,x_2,x_3,x_4>0\), \(x_5=x_1\). Докажите \[\sum_{i=1}^4(x_{i+1}-x_i)\sqrt{x_i^2+3x_{i+1}^2}\ge0.\]
Подсказка. Сравните корень с \(x_i+x_{i+1}\), учитывая знак \(x_{i+1}-x_i\).
Для \(u,v>0\) верно \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge v^2-u^2\): если \(v\ge u\), корень не меньше \(u+v\); если \(v\le u\), корень не больше \(u+v\), но множитель отрицателен. Сумма правых частей телескопируется в \(0\).
Mock-вариант 4: задача рассчитана на самостоятельный выбор метода без явной подсказки в условии.