Задача
ALG-B3-M01-P013 Что можно доказать без регулярности
#13
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна: \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), и \(f(1)=0\). Докажите, что \(f(q)=0\) для всех \(q\in\mathbb Q\). Объясните, почему из этого ещё не следует \(f\equiv0\) на \(\mathbb R\).
Подсказка. Сначала докажите \(f(n)=0\), затем \(n f(m/n)=f(m)\).
Для целых \(n\) имеем \(f(n)=n f(1)=0\). Если \(q=m/n\), то \(n f(q)=f(m)=0\), значит \(f(q)=0\). Но на \(\mathbb R\) существуют аддитивные функции без регулярности, не задаваемые значениями на \(\mathbb Q\); поэтому без дополнительных условий нельзя заключить \(f\equiv0\).
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.