Задача
ALG-B3-M01-P014 Ещё одна квадратичная добавка
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\), \(f(1)=0\). Найдите \(f\).
Подсказка. Вычтите \(\frac{x^2}{2}\).
Пусть \(g(x)=f(x)-\frac{x^2}{2}\). Тогда \(g(x+y)=g(x)+g(y)\). Кроме того, \(g(1)=f(1)-1/2=-1/2\). На \(\mathbb Q\) получаем \(g(q)=-q/2\), значит \(f(q)=\frac{q^2-q}{2}\).
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.