Задача
ALG-B3-M01-P015 Инъективность из уравнения
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), если \(f(x+f(y))=x+y\) для всех \(x,y\in\mathbb R\).
Подсказка. Сначала докажите, что \(f\) инъективна.
Если \(f(u)=f(v)\), то из \(f(x+f(u))=x+u\) и \(f(x+f(v))=x+v\) следует \(u=v\). Значит \(f\) инъективна. При \(x=0\): \(f(f(y))=y\). Подставим \(y=f(t)\): \(f(x+t)=x+f(t)\). При фиксированном \(t\) это даёт \(f(s)=s+f(t)-t\), то есть \(f(s)=s+c\). Тогда \(f(f(y))=y+2c\), значит \(c=0\). Ответ: \(f(x)=x\).
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.