Задача
ALG-B3-M01-P018 Квадраты заставляют линейность
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и \(f(x^2)=x f(x)\) для всех \(x\in\mathbb R\). Найдите все такие функции.
Подсказка. Примените условие к \((x+y)^2\).
С одной стороны, \(f((x+y)^2)=(x+y)(f(x)+f(y))\). С другой стороны, по аддитивности \(f(x^2+2xy+y^2)=xf(x)+2f(xy)+yf(y)\). Значит \(2f(xy)=xf(y)+yf(x)\). При \(y=1\) получаем \(2f(x)=xf(1)+f(x)\), то есть \(f(x)=cx\), где \(c=f(1)\). Любая функция \(f(x)=cx\) подходит.
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.