Задача
ALG-B3-M02-P008 Квадратная добавка
#8
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\), \(f(1)=4\). Найдите \(f\).
Подсказка. Вычтите \(x^2\).
Пусть \(g(x)=f(x)-x^2\). Тогда \(g(x+y)=g(x)+g(y)\), а \(g(1)=3\). На \(\mathbb Q\) получаем \(g(q)=3q\). Следовательно, \(f(q)=q^2+3q\). Проверка следует из \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.