Задача
ALG-B3-M02-P017 Кубическая нормировка
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)-f(x)-f(y)=x^2y+xy^2\), \(f(1)=1\). Найдите \(f\).
Подсказка. Сравните добавку с \((x+y)^3-x^3-y^3\).
Так как \((x+y)^3-x^3-y^3=3x^2y+3xy^2\), положим \(g(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}\). Тогда \(g\) аддитивна. Имеем \(g(1)=1-\frac13=\frac23\), поэтому на \(\mathbb Q\) \(g(q)=\frac{2q}{3}\). Ответ: \(f(q)=\frac{q^3+2q}{3}\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.