Задача
ALG-B3-M02-P018 Инъективность из сдвига
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), если \(f(x+f(y))=x+2y\) и дополнительно \(f\) является сюръективной.
Подсказка. Сравните коэффициенты после подстановки \(x=0\) и используйте сюръективность.
При \(x=0\) получаем \(f(f(y))=2y\). Так как \(f\) сюръективна, для любого \(t\) найдётся \(y\), что \(t=f(y)\), и тогда \(f(t)=2y\). Теперь \(f(x+t)=x+f(t)\) для всех \(x,t\). Значит \(f(u)-u\) постоянно: \(f(u)=u+c\). Тогда \(f(f(y))=y+2c\), но должно быть \(2y\), что невозможно для всех \(y\). Следовательно, решений нет.
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.