Задача
ALG-B3-M02-P019 Чётность из двух средних
Функция \(\Phi:\mathbb R\to\mathbb R\) для всех действительных \(u,v\) удовлетворяет \[\Phi(u)+\Phi(v)=2\Phi\left(\frac{u+v}{2}\right)\Phi\left(\frac{u-v}{2}\right).\] Докажите, что \(\Phi\) чётна.
Подсказка 1. Запишите равенство для пары \(u,-v\).
Подсказка 2. Правая часть не изменится, потому что два множителя просто поменяются местами.
Для пары \(u,v\) имеем \(\Phi(u)+\Phi(v)=2\Phi((u+v)/2)\Phi((u-v)/2)\). Для пары \(u,-v\) получаем \[\Phi(u)+\Phi(-v)=2\Phi\left(\frac{u-v}{2}\right)\Phi\left(\frac{u+v}{2}\right).\] Правые части равны, поэтому \(\Phi(u)+\Phi(v)=\Phi(u)+\Phi(-v)\). Следовательно, \(\Phi(v)=\Phi(-v)\) для всех \(v\).
A. Анализ источника. Главные объекты: функция с аргументами-средними (u+v)/2 и (u-v)/2.
B. Недостаточный первый ход. Прямая подстановка u=0 не даёт чётность сразу.
C. Скрытое наблюдение. Замена v на -v меняет местами два множителя справа.
D. Нужный ход. Нужно сравнить два равенства, а не решать уравнение полностью.
E. Число идей. Одна ключевая идея: симметричная замена переменной.
F. Обоснование уровня. Региональный уровень 6: идея короткая, но её надо увидеть среди двух средних.
G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: нужно построить второе равенство и сравнить правые части.