ALG-B3-M02-P020 Функция, которая сжимается вниз

Подсказка 1. Сначала докажите неотрицательность, сравнив \(s\) с \(s+1\).

Подсказка 2. Если \(H(t_0)>1\), двигайтесь влево через середины и получайте всё большие значения.

Для любого \(s\) имеем \(s0\). Возьмём любое \(r1+2^n a\) для всех \(n\). При \(n=1\): \(H(r)\ge H(t_0)^2=(1+a)^2>1+2a\). Если уже \(H(r)>1+2^n a\), рассмотрим точку \(m=(r+t_0)/2\). Она лежит между \(r\) и \(t_0\), поэтому по индукционной идее для промежуточных точек \(H(m)>1+2^n a\), а затем \(H(r)\ge H(m)^2>1+2^{n+1}a\). Получаем, что фиксированное число \(H(r)\) больше \(1+2^n a\) при всех \(n\), невозможно. Следовательно, \(H(t)\le1\) для всех \(t\), и вместе с неотрицательностью получаем \(0\le H(t)\le1\).

A. Анализ источника. Главные объекты: функциональное неравенство для любых двух упорядоченных аргументов.

B. Недостаточный первый ход. Проверка отдельных значений не ограничивает функцию сверху.

C. Скрытое наблюдение. Если одно значение больше 1, то слева можно построить бесконечное усиление через середины.

D. Нужный ход. Нужно сначала доказать неотрицательность, затем запустить индукцию по удвоению прироста.

E. Число идей. Две идеи: неотрицательность и взрывная midpoint-индукция.

F. Обоснование уровня. Финальный уровень 8: метод не виден из формулы и требует построения бесконечного противоречия.

G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: верхняя оценка появляется только после отдельного доказательства неотрицательности и индукции.