Задача
ALG-B3-M03-P007 Серединное равенство
#7
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}2\), \(f(0)=1\), \(f(1)=4\). Найдите \(f\).
Подсказка. Рассмотрите \(g(x)=f(x)-1\).
Для \(g=f-1\) имеем \(g((x+y)/2)=(g(x)+g(y))/2\), \(g(0)=0\), \(g(1)=3\). На рациональных из серединного равенства получается аддитивность: \(g(u+v)=g(u)+g(v)\) после замены \(x=2u\), \(y=2v\) и использования \(g(2t)=2g(t)\). Значит \(g(q)=3q\), и \(f(q)=3q+1\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.