Задача
ALG-B3-M03-P012 Неотрицательность на луче
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и \(f(x)\ge0\) при всех \(x\ge0\). Докажите, что \(f(x)=cx\) и \(c\ge0\).
Подсказка. Неотрицательность даёт монотонность.
Если \(x\le y\), то \(y-x\ge0\), значит \(f(y)-f(x)=f(y-x)\ge0\). Следовательно, \(f\) неубывает. По предыдущему результату \(f(x)=cx\), причём \(c=f(1)\ge0\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.