Задача
ALG-B3-M03-P013 Аддитивность и умножение
#13
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) и \(f(xy)=x f(y)+y f(x)\). Найдите \(f\).
Подсказка. Сначала используйте аддитивность на \(\mathbb Q\).
Из аддитивности \(f(q)=cq\). Подставим во второе условие: \(cxy=x\cdot cy+y\cdot cx=2cxy\). При \(x=y=1\) получаем \(c=2c\), значит \(c=0\). Ответ: \(f\equiv0\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.