Задача
ALG-B3-M03-P014 Полевая совместимость
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна, \(f(xy)=f(x)f(y)\) и \(f(1)=1\). Докажите, что \(f(x)=x\).
Подсказка. Докажите, что \(x>0\Rightarrow f(x)>0\).
Если \(x>0\), то \(x=t^2\) для некоторого \(t\ne0\). Тогда \(f(x)=f(t)^2\ge0\). Более того, \(f(t)\ne0\), иначе \(1=f(1)=f(t\cdot1/t)=0\). Значит \(f(x)>0\) при \(x>0\), то есть \(f\) возрастает. Возрастающая аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\). Из \(f(1)=1\) получаем \(c=1\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.