Задача
ALG-B3-M03-P016 Аффинность из двух правил
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)\) и \(f(3x)=3f(x)-4\). Найдите \(f\).
Подсказка. Запишите \(f=g+c\), где \(g\) аддитивна.
Пусть \(c=f(0)\), \(g=f-c\). Тогда \(g\) аддитивна, и \(f(3x)=g(3x)+c=3g(x)+c\). Правая часть второго условия равна \(3(g(x)+c)-4=3g(x)+3c-4\). Поэтому \(c=3c-4\), значит \(c=2\). Аддитивная часть произвольна на \(\mathbb Q\), то есть \(g(q)=kq\). Ответ: \(f(q)=kq+2\), \(k\in\mathbb Q\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.