Задача
ALG-B3-M03-P017 Аффинная функция с нижней оценкой
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)-3\), и \(f(x)\ge -5\) для всех \(x\in[0,1]\). Докажите, что \(f(x)=cx+3\) для некоторого \(c\).
Подсказка. Сначала сдвиньте функцию, затем получите ограниченность аддитивной части.
Пусть \(g(x)=f(x)-3\). Тогда \(g\) аддитивна. На \([0,1]\) имеем \(g(x)\ge -8\). Кроме того, \(g(x)=g(1)-g(1-x)\le g(1)+8\), значит \(g\) ограничена на \([0,1]\). Поэтому \(g(x)=cx\), и \(f(x)=cx+3\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.