Задача
ALG-B3-M04-P004 Сюръективность без лишних подстановок
#4
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все сюръективные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x+f(y))=x+f(y)+1\) для всех \(x,y\).
Снова положите \(t=f(y)\).
Так как \(f\) сюръективна, \(t=f(y)\) пробегает все действительные числа. Поэтому \(f(x+t)=x+t+1\) для всех \(x,t\). Но любое число \(u\) можно записать как \(u=x+t\), значит \(f(u)=u+1\). Проверка немедленна: \(f(x+f(y))=x+f(y)+1\). Ответ: \(f(x)=x+1\).
Хорошая короткая задача на понимание, что пара \((x,t)\) задаёт произвольную сумму.