Задача
ALG-B3-M04-P005 Сумма внутри функции
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) инъективна и \(f(f(x)+f(y))=f(x+y)\) для всех \(x,y\). Найдите \(f\).
Сократите внешний \(f\), затем поставьте \(y=0\).
По инъективности \(f(x)+f(y)=x+y\). При \(y=0\) получаем \(f(x)+f(0)=x\), то есть \(f(x)=x-c\), где \(c=f(0)\). Подставим в равенство \(f(x)+f(y)=x+y\): \((x-c)+(y-c)=x+y\), откуда \(c=0\). Значит, \(f(x)=x\). Проверка очевидна.
Ученик должен не угадывать тождественную функцию, а доказать её через инъективность.