Задача
ALG-B3-M04-P006 Две инволюции на рациональных
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все функции \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), для которых \(f(x+f(y))=f(x)+y\) при всех \(x,y\in\mathbb Q\).
Сначала получите \(f(f(y))=f(0)+y\), затем докажите инъективность.
При \(x=0\): \(f(f(y))=f(0)+y\). Если \(f(a)=f(b)\), то \(f(f(a))=f(f(b))\), откуда \(a=b\). Значит, \(f\) инъективна. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(y))=y\).
Подставим \(y=f(t)\): \(f(x+f(f(t)))=f(x)+f(t)\), то есть \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). На \(\mathbb Q\) аддитивная функция имеет вид \(f(x)=cx\). Из \(f(f(y))=y\) следует \(c^2=1\). Ответы: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x\). Проверка прямая.
Стандартная цепочка модуля: инъективность, ноль, аддитивность, проверка.