Задача
ALG-B3-M04-P007 Прообраз внутри аргумента
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), удовлетворяющие \(f(f(x)+y)=x+f(y)\) для всех \(x,y\in\mathbb Q\).
Докажите \(f(0)=0\), а затем подставьте \(y=f(t)\).
При \(y=0\): \(f(f(x))=x+f(0)\), поэтому \(f\) инъективна и сюръективна. При \(x=0\): \(f(f(0)+y)=f(y)\). По инъективности \(f(0)+y=y\), значит \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(x))=x\).
Подставим \(y=f(t)\): \(f(f(x)+f(t))=x+t=f(f(x+t))\). По инъективности \(f(x)+f(t)=f(x+t)\). Следовательно, \(f\) аддитивна на \(\mathbb Q\), значит \(f(x)=cx\). Условие \(f(f(x))=x\) даёт \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\) или \(f(x)=-x\).
Похожа на предыдущую, но инъективность и сюръективность появляются из другой подстановки.