Задача
ALG-B3-M04-P008 Коэффициент из образа
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все сюръективные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x+f(y))=f(x)+2f(y)\) для всех \(x,y\).
Сделайте \(t=f(y)\) произвольным.
По сюръективности \(t=f(y)\) произвольно. Тогда \(f(x+t)=f(x)+2t\) для всех \(x,t\). При \(x=0\) получаем \(f(t)=f(0)+2t\). Следовательно, \(f(x)=2x+c\). Проверка: \(f(x+f(y))=2x+2f(y)+c=f(x)+2f(y)\). Все функции \(f(x)=2x+c\) подходят.
Показывает, что не всякий модульный пример должен сводиться к \(x+c\); коэффициент тоже может появиться из условия.