Задача
ALG-B3-M04-P009 Квадратный коэффициент невозможен
Докажите, что не существует функции \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), для которой \(f(x+f(y))=f(x)+3y\) при всех \(x,y\in\mathbb Q\).
Доведите уравнение до аддитивности и до условия \(c^2=3\).
Если \(f(a)=f(b)\), то сравнение исходного равенства при \(y=a\) и \(y=b\) даёт \(3a=3b\), значит \(a=b\). Функция инъективна. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). При \(x=0\): \(f(f(y))=3y\), отсюда \(f\) сюръективна.
Пусть \(t=f(y)\). Тогда \(f(t)=3y\), и исходное уравнение принимает вид \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). Значит, \(f\) аддитивна на \(\mathbb Q\), поэтому \(f(x)=cx\) для некоторого рационального \(c\). Условие \(f(f(y))=3y\) даёт \(c^2=3\), что невозможно для рационального \(c\). Противоречие.
Задача важна тем, что ответ не находится, а невозможность появляется только после полного метода.