Задача
ALG-B3-M04-P014 Непрерывная обратимость
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все непрерывные функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), удовлетворяющие \(f(f(x)+y)=x+f(y)\) для всех \(x,y\).
Начните с \(y=0\) и \(x=0\).
При \(y=0\) получаем \(f(f(x))=x+f(0)\). Отсюда следует инъективность: если \(f(a)=f(b)\), то \(a+f(0)=b+f(0)\). Также следует сюръективность. При \(x=0\): \(f(f(0)+y)=f(y)\), поэтому по инъективности \(f(0)=0\). Значит, \(f(f(x))=x\).
Подставим \(y=f(t)\): \(f(f(x)+f(t))=x+t=f(f(x+t))\). По инъективности \(f(x)+f(t)=f(x+t)\). Функция непрерывна и аддитивна, значит \(f(x)=cx\). Условие \(f(f(x))=x\) даёт \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x\).
Ключевой пример на переход от биективности к аддитивности.