Задача
ALG-B3-M04-P015 Золотое отношение в функциональном уравнении
Найдите все непрерывные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), для которых \(f(x+f(y))=f(x)+f(y)+y\) при всех \(x,y\).
После сдвига \(g(x)=f(x)-f(0)\) должна появиться аддитивная функция.
Если \(f(a)=f(b)\), сравнение уравнений при \(y=a\) и \(y=b\) даёт \(a=b\), значит \(f\) инъективна. Пусть \(c=f(0)\). При \(x=0\): \(f(f(y))=c+f(y)+y\). Если \(t=f(y)\), то \(f(t)=c+t+y\), откуда \(t+y=f(t)-c\). Поэтому \(f(x+t)=f(x)+f(t)-c\). Значит, \(g(x)=f(x)-c\) аддитивна и непрерывна, следовательно, \(g(x)=ax\).
Итак, \(f(x)=ax+c\). Подстановка в исходное уравнение даёт \(a(x+ay+c)+c=ax+(a+1)y+2c\). Поэтому \(a^2=a+1\) и \(c(a-1)=0\). Так как корни первого уравнения не равны \(1\), имеем \(c=0\). Значит, \(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) или \(a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\). Обе функции \(f(x)=ax\) подходят.
Это уже олимпиадная связка: инъективность, сдвиг, аддитивность, сравнение коэффициентов.