Задача
ALG-B3-M04-P016 Сюръективная композиция
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все сюръективные функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(f(x)+y)=f(x)+f(y)\) для всех \(x,y\).
Пусть \(t=f(x)\) произвольно.
Так как \(f\) сюръективна, \(t=f(x)\) пробегает все действительные числа. Тогда \(f(t+y)=t+f(y)\) для всех \(t,y\). При \(y=0\) получаем \(f(t)=t+f(0)\). Значит, \(f(x)=x+c\). Проверка: \(f(f(x)+y)=f(x)+y+c=x+c+y+c=f(x)+f(y)\). Все функции \(f(x)=x+c\) подходят.
Сюръективность применяется к другому аргументу, не к \(f(y)\).