Задача
ALG-B3-M04-P017 Середины из образа
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) непрерывна и сюръективна. Найдите все \(f\), для которых \(f(x+f(y))+f(x-f(y))=2f(x)\) при всех \(x,y\).
По сюръективности замените \(f(y)\) на произвольное \(t\).
Так как \(f\) сюръективна, \(t=f(y)\) произвольно. Поэтому \(f(x+t)+f(x-t)=2f(x)\) для всех \(x,t\). Положив \(u=x+t\), \(v=x-t\), получаем \(f\left(\frac{u+v}{2}\right)=\frac{f(u)+f(v)}{2}\). Непрерывная функция, сохраняющая середины, аффинна: \(f(x)=ax+b\).
Сюръективность требует \(a\ne0\). Проверка показывает, что любая функция \(f(x)=ax+b\), \(a\ne0\), удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: \(f(x)=ax+b\), где \(a\ne0\).
Это мост к уравнениям Йенсена: сюръективность превращает частный шаг в произвольный.