Задача
ALG-B3-M05-P006 Аддитивная и мультипликативная
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), такие что \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) и \(f(xy)=f(x)f(y)\).
Сначала используйте аддитивность на \(\mathbb Q\).
Из аддитивности \(f(x)=cx\). Тогда \(f(xy)=cxy\), а \(f(x)f(y)=c^2xy\). Поэтому \(cxy=c^2xy\) для всех \(x,y\), откуда \(c=0\) или \(c=1\). Ответ: \(f(x)=0\) и \(f(x)=x\).
Нулевая функция является полноценным ответом.