Задача
ALG-B3-M05-P008 Ограниченность на интервале
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна, ограничена на отрезке \([0,1]\), и \(f(1)=2\). Докажите, что \(f(x)=2x\).
Ограниченная на интервале аддитивная функция непрерывна в нуле.
Из стандартного факта: если аддитивная функция ограничена на некотором интервале, то она непрерывна в нуле, а значит непрерывна всюду. Следовательно, \(f(x)=cx\). Так как \(f(1)=2\), получаем \(c=2\). Значит, \(f(x)=2x\).
Можно использовать как теоретическую опору перед более сложными задачами.