Задача
ALG-B3-M05-P009 Середины с двумя значениями
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите непрерывную \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), если \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\), \(f(0)=3\), \(f(2)=9\).
Уравнение середин даёт аффинную функцию.
Как в теории, непрерывные решения имеют вид \(f(x)=ax+b\). Из \(f(0)=3\) получаем \(b=3\). Из \(f(2)=9\) следует \(2a+3=9\), то есть \(a=3\). Ответ: \(f(x)=3x+3\).
Стандартное применение Jensen-type уравнения.