Задача
ALG-B3-M06-P016 Инволюция по модулю
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\) - нечётное простое, \(f:\mathbb Z/p\mathbb Z\to\mathbb Z/p\mathbb Z\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), и \(f(f(x))=x\). Найдите \(f\).
Сначала \(f(x)=ax\).
По аддитивности на остатках \(f(x)=ax\), где \(a=f(1)\). Тогда \(f(f(x))=a^2x\). Условие даёт \(a^2\equiv1\pmod p\). Так как \(p\) нечётное простое, \((a-1)(a+1)\equiv0\pmod p\), поэтому \(a\equiv1\) или \(a\equiv-1\). Ответ: \(f(x)=x\) и \(f(x)=-x\) по модулю \(p\).
Модульная версия композиционного ограничения.