Задача
ALG-B3-M07-P003 Квадратический многочлен
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), если \(P(x+y)+P(x-y)=2P(x)+2P(y)\) и \(P(1)=2\).
Проверьте, что степень не может быть выше \(2\).
Подстановка \(y=0\) даёт \(P(0)=0\). Сравнение старших частей показывает, что степень не выше \(2\). Пусть \(P(x)=ax^2+bx\). Подстановка даёт \(2ax^2+2ay^2+2bx=2ax^2+2bx+2ay^2+2by\), значит \(b=0\). Из \(P(1)=2\) получаем \(a=2\). Ответ: \(P(x)=2x^2\).
Квадратическая версия Cauchy-type уравнений.