Задача
ALG-B3-M07-P010 Аргумент с \(P(y)\)
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), для которых \(P(x+P(y))=P(x)+y\).
Сравните степень по \(y\).
Если \(d=\deg P\ge2\), то степень левой части по \(y\) равна \(d^2\), а правой - \(1\), невозможно. Значит, \(P(x)=ax+b\). Подстановка даёт \(a(x+ay+b)+b=ax+b+y\). Отсюда \(a^2=1\), \(ab=0\), значит \(b=0\). Ответ: \(P(x)=x\), \(P(x)=-x\).
Стандартное сравнение степени по одной переменной.