Задача
ALG-B3-M07-P012 Квадрат аргумента
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(x)^2=P(x^2)\).
Если есть ненулевой корень, постройте бесконечно много корней.
Постоянные решения: \(0\), \(1\). Пусть \(P\) непостоянен. Если \(r\ne0\) - корень, то \(P(r^2)=P(r)^2=0\), далее \(P(r^{2^k})=0\) для бесконечно многих \(k\), что невозможно. Значит, единственный корень - \(0\), и \(P(x)=ax^n\). Подстановка даёт \(a^2=a\), откуда \(a=1\). Ответ: \(0\), \(1\), \(x^n\), \(n\ge1\).
Корневой аргумент с цепочкой степеней.