Задача
ALG-B3-M07-P016 Разность на целых
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), если \(P(n+1)-P(n)=n^2\) для всех целых \(n\).
Сначала превратите равенство на целых в тождество.
Многочлен \(R(x)=P(x+1)-P(x)-x^2\) имеет бесконечно много корней, значит \(R\equiv0\). Поэтому задача сводится к \(P(x+1)-P(x)=x^2\). Как раньше, \(P(x)=\frac{x(x-1)(2x-1)}{6}+c\).
Важный переход от бесконечного набора целых точек к тождеству.