Задача
ALG-B3-M07-P017 Сумма с произведением
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy\).
Вычтите \(x^2\).
Положим \(Q(x)=P(x)-x^2\). Тогда \(Q(x+y)=P(x+y)-(x+y)^2=P(x)+P(y)+2xy-x^2-2xy-y^2=Q(x)+Q(y)\). Значит, \(Q(x)=ax\). Ответ: \(P(x)=x^2+ax\).
Полиномиальная поправка к аддитивности.