ALG-B3-M07-P018 Чётная мультипликативность

Сначала разберите ненулевые корни, затем знак степени.

Постоянные решения: \(0\), \(1\). Пусть \(P\) непостоянен. Если \(r\ne0\) - корень, то \(P(r^2)=P(r)P(-r)=0\), и снова возникает бесконечная цепочка корней. Значит, корень только \(0\), поэтому \(P(x)=ax^n\). Подстановка даёт \(a x^{2n}=a^2(-1)^n x^{2n}\). Значит, \(a=a^2(-1)^n\). Так как \(a e0\), имеем \(a=(-1)^n\). Ответ: \(P(x)=x^{2k}\) и \(P(x)=-x^{2k+1}\), а также \(0\), \(1\).

Сильная задача на корни и знак старшего коэффициента.