Задача
ALG-B3-M08-P005 Циклы длины три
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Перестановка \(f\) множества из \(10\) элементов удовлетворяет \(f^3(x)=x\) для всех \(x\). Докажите, что у неё есть неподвижная точка.
Возможные длины циклов делят \(3\).
Циклы перестановки имеют длины \(1\) или \(3\). Если неподвижных точек нет, все циклы имеют длину \(3\), и число элементов делится на \(3\). Но \(10\) не делится на \(3\). Значит, есть цикл длины \(1\), то есть неподвижная точка.
Базовая finite-cycle задача.