Задача
ALG-B3-M08-P010 Полиномиальная инволюция
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(P(x))=x\).
Сравните степени и сведите к линейному случаю.
Если \(P\) постоянен, невозможно. Если \(\deg P=d\), то \(d^2=1\), поэтому \(d=1\). Пусть \(P(x)=ax+b\). Тогда \(a^2x+b(a+1)=x\), откуда \(a^2=1\), \(b(a+1)=0\). Ответ: \(P(x)=x\) или \(P(x)=-x+b\).
Повторяет итерацию в полиномиальном контексте.