Задача
ALG-B3-M08-P011 Полиномиальный идемпотент
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), для которых \(P(P(x))=P(x)\).
Если \(P\) непостоянен, его образ бесконечен.
Любой постоянный многочлен подходит. Пусть \(P\) непостоянен. Тогда множество значений \(P(x)\) бесконечно. Для каждого \(t=P(x)\) имеем \(P(t)=t\). Значит, многочлен \(P(T)-T\) имеет бесконечно много корней, поэтому \(P(T)=T\). Ответ: все постоянные многочлены и \(P(x)=x\).
Идемпотентность через бесконечный образ.