Задача
ALG-B3-M08-P018 Итерация образа
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(P(x))=P(x)^2\).
Если \(P\) непостоянен, его образ бесконечен.
Если \(P=c\) постоянно, то \(c=c^2\), значит \(c=0\) или \(c=1\). Пусть \(P\) непостоянен. Для каждого \(t\) из образа \(P\) имеем \(t=P(x)\) и потому \(P(t)=t^2\). Образ непостоянного многочлена бесконечен, значит \(P(T)-T^2\) имеет бесконечно много корней. Следовательно, \(P(T)=T^2\). Ответ: \(P=0\), \(P=1\), \(P(x)=x^2\).
Сильная задача на бесконечный образ.