Задача
ALG-B3-M09-P008 Jensen с ограничением
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(f\) удовлетворяет \(f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}\) и ограничена сверху на интервале \([0,1]\). Докажите, что \(f(x)=ax+b\).
Сведите к Jensen-линейной функции с \(g(0)=0\).
Положим \(g(x)=f(x)-f(0)\). Тогда \(g(0)=0\), \(g\) удовлетворяет тому же Jensen-уравнению и ограничена сверху на интервале. Стандартный результат даёт непрерывность и линейность \(g(x)=ax\). Поэтому \(f(x)=ax+b\).
Допустимый теоретический факт для этого модуля.