Задача
ALG-B3-M09-P015 Монотонный Jensen
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f\) неубывает и \(f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}\). Докажите, что \(f(x)=ax+b\).
Монотонность даёт регулярность Jensen-уравнения.
Положим \(g(x)=f(x)-f(0)\). Тогда \(g(0)=0\), \(g\) удовлетворяет Jensen-уравнению и неубывает. По стандартному факту Jensen-функция с монотонностью линейна: \(g(x)=ax\). Следовательно, \(f(x)=ax+b\).
Вариант Jensen с монотонностью вместо ограниченности.