Задача
ALG-B3-M09-P018 Две разные оценки
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f\) аддитивна и для всех \(x\) выполнено \(-x^2\le f(x)\le x^2\). Докажите, что \(f\equiv0\).
Достаточно использовать верхнюю оценку и применить её к \(-x\).
Из верхней оценки, как в предыдущей задаче, для \(q>0\): \(qf(x)=f(qx)\le q^2x^2\), значит \(f(x)\le qx^2\). При \(q\to0+\) получаем \(f(x)\le0\). Применяем то же к \(-x\): \(f(-x)\le0\), то есть \(-f(x)\le0\), значит \(f(x)\ge0\). Следовательно, \(f(x)=0\).
Показывает, что нижняя оценка может быть лишней, если есть симметрия аддитивности.