Задача
ALG-B3-M11-P018 Модульная функция
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\) - нечётное простое, \(f:\mathbb Z/p\mathbb Z\to\mathbb Z/p\mathbb Z\), \(f(x+f(y))=f(x)+y\). Найдите \(f\).
Докажите инъективность, затем аддитивность.
При \(x=0\): \(f(f(y))=f(0)+y\), значит \(f\) инъективна, а на конечном множестве биективна. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(y))=y\). Подстановка \(y=f(t)\) даёт \(f(x+t)=f(x)+f(t)\), значит \(f(x)=ax\). Из \(a^2=1\) по модулю \(p\) получаем \(a=\pm1\). Ответ: \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).
Смешение конечности и инъективности.