Задача
ALG-B3-M11-P017 Параметрический сдвиг
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все пары \((a,f)\), где \(f\) непрерывна, \(f(x+y)=f(x)+f(y)+a xy\), и \(f(f(x))=x+a\).
Сначала общий вид, затем степень композиции.
Общий вид: \(f(x)=\frac a2x^2+cx\). Если \(a\ne0\), то \(f(f(x))\) имеет степень \(4\), невозможно. Значит, \(a=0\). Тогда \(f(x)=cx\), и \(c^2x=x\), откуда \(c=1\) или \(c=-1\). Ответ: \(a=0\), \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).
Параметрическая mixed-задача.