Задача
COM-B1-M07-P014 Где может стоять одиночная клетка
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Доску \(8\times8\) хотят покрыть \(21\) прямым тримино \(1\times3\) и одной отдельной клеткой. Докажите, что отдельная клетка не может быть \((1,1)\) или \((8,8)\).
Посчитайте цвета в раскраске \(i+j\pmod3\).
При раскраске \((i,j)\mapsto i+j\pmod3\) каждое тримино покрывает по одной клетке каждого цвета. Значит, \(21\) тримино покрывают по \(21\) клетке каждого цвета. На доске \(8\times8\) цветов \(0,1,2\) соответственно \(22,21,21\). Поэтому отдельная клетка обязана иметь цвет \(0\). Но \((1,1)\) имеет цвет \(2\), а \((8,8)\) имеет цвет \(16\equiv1\pmod3\). Значит, ни одна из этих клеток не подходит.
Отличная задача на необходимое условие без обещания существования.