Задача
COM-B2-M09-P002 Три неограниченные переменные
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Сколько троек неотрицательных целых чисел \((a,b,c)\) удовлетворяют уравнению \(a+b+c=14\)? Решите задачу через производящую функцию.
Каждая переменная дает множитель \(1+x+x^2+\cdots\).
Искомое число равно коэффициенту при \(x^{14}\) в \(\frac{1}{(1-x)^3}\). Так как \(\frac{1}{(1-x)^3}=\sum_{n\ge 0}\binom{n+2}{2}x^n\), получаем \(\binom{16}{2}=120\).
Связывает метод шаров и перегородок с языком коэффициентов.