Задача
GEO-B1-M02-P011 Медианы в равных треугольниках
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны. Точки \(M\) и \(M_1\) — середины сторон \(BC\) и \(B_1C_1\). Докажите, что \(AM=A_1M_1\).
Докажите равенство треугольников \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\).
Из равенства исходных треугольников следует \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\), \(\angle ABC=\angle A_1B_1C_1\). Так как \(M\) и \(M_1\) — середины, \(BM=\frac{1}{2}BC\) и \(B_1M_1=\frac{1}{2}B_1C_1\), значит \(BM=B_1M_1\). По SAS \(\triangle ABM=\triangle A_1B_1M_1\). Следовательно, \(AM=A_1M_1\).
Задача показывает, что равенство медиан не надо принимать на веру.