Задача
GEO-B1-M02-P013 Продлённая медиана
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). На луче \(AM\) за точку \(M\) взята точка \(P\) так, что \(MP=AM\). Докажите, что \(BP=AC\) и \(CP=AB\).
Используйте вертикальные углы при пересечении прямых \(AP\) и \(BC\).
Имеем \(AM=MP\), \(BM=CM\). Углы \(AMB\) и \(PMC\) вертикальные, значит равны. По SAS \(\triangle AMB=\triangle PMC\), поэтому \(AB=PC\). Аналогично углы \(AMC\) и \(PMB\) вертикальные, а \(AM=MP\), \(CM=BM\). Значит \(\triangle AMC=\triangle PMB\), откуда \(AC=PB\).
Классический способ “удвоить медиану” через равные треугольники.